$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(m - y{\left(t \right)}\right)$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(m - y{\left(t \right)}\right)$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = k$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = m - y{\left(t \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$m - y{\left(t \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{m - y{\left(t \right)}} = k$$
Этим самым мы разделили переменные t и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{m - y{\left(t \right)}} = dt k$$
или
$$\frac{dy}{m - y{\left(t \right)}} = dt k$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \frac{1}{m - y}\, dy = \int k\, dt$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(- m + y \right)} = Const + k t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- k t} + m$$

$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- k t} + m$$