$$y{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = 0,

где
$$P{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$
и
и называется линейным однородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Это ур-ние с разделяющимися переменными.
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \tan{\left(x \right)}\, dx = - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = e^{C_{1}} \cos{\left(x \right)}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2}} \cos{\left(x \right)}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C \cos{\left(x \right)}$$

$$y{\left(x \right)} = C_{1} \cos{\left(x \right)}$$