$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \sqrt{x{\left(t \right)}}$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \sqrt{x{\left(t \right)}}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{2}{\left(x \right)} = \sqrt{x{\left(t \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(x)
$$\sqrt{x{\left(t \right)}}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\sqrt{x{\left(t \right)}}} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные t и x.

Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\sqrt{x{\left(t \right)}}} = dt$$
или
$$\frac{dx}{\sqrt{x{\left(t \right)}}} = dt$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по x,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = \int 1\, dt$$
Подробное решение интеграла с x
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$2 \sqrt{x} = Const + t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной x.
(Const - это константа)

Решением будет:

x_1 =

$$x{\left(t \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{C_{1} t}{2} + \frac{t^{2}}{4}$$

$$x{\left(t \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{C_{1} t}{2} + \frac{t^{2}}{4}$$