$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = x^{2}{\left(t \right)}$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = x^{2}{\left(t \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = x^{2}{\left(t \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(x)
$$x^{2}{\left(t \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)}} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные t и x.

Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)}} = dt$$
или
$$\frac{dx}{x^{2}{\left(t \right)}} = dt$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по x,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = \int 1\, dt$$
Подробное решение интеграла с x
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{x} = Const + t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной x.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = - \frac{1}{C_{1} + t}$$

$$x{\left(t \right)} = - \frac{1}{C_{1} + t}$$