$$\frac{d}{d t} p{\left(t \right)} = \left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} p{\left(t \right)} = \left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(p)*p' = f2(x)*g2(p),

где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(p \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{2}{\left(p \right)} = \left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(p)/g2(p)*p'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(p)
$$\left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d t} p{\left(t \right)}}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные t и p.

Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} p{\left(t \right)}}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = dt$$
или
$$- \frac{dp}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = dt$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по p,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \left(- \frac{1}{p \left(p - 1\right)}\right)\, dp = \int 1\, dt$$
Подробное решение интеграла с p
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(p \right)} - \log{\left(p - 1 \right)} = Const + t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной p.
(Const - это константа)

Решением будет:

p_1 =

$$p{\left(t \right)} = \frac{1}{C_{1} e^{- t} + 1}$$

$$p{\left(t \right)} = \frac{1}{C_{1} e^{- t} + 1}$$