Дифференциальное уравнение 2yy'=1-3x^2
Решение
Вы ввели
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - 3 x^{2}$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - 3 x^{2}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 1$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 1$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- 2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(3 x^{2} - 1\right)$$
или
$$- 2 dy y{\left(x \right)} = dx \left(3 x^{2} - 1\right)$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- 2 y\right)\, dy = \int \left(3 x^{2} - 1\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- y^{2} = Const + x^{3} - x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{3} + x}$$
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{3} + x}$$
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - 3 x^{2}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 1$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 1$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- 2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(3 x^{2} - 1\right)$$
или
$$- 2 dy y{\left(x \right)} = dx \left(3 x^{2} - 1\right)$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- 2 y\right)\, dy = \int \left(3 x^{2} - 1\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- y^{2} = Const + x^{3} - x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
y_1 =
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{3} + x}$$
y_2 =
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{3} + x}$$
Ответ
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{3} + x}$$
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{3} + x}$$
График для задачи Коши
Классификация
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Численный ответ
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.9238111670996598e-09)
(-5.555555555555555, 4.78212103028367e+180)
(-3.333333333333333, 2.3556501956172536e+251)
(-1.1111111111111107, 4.2613729667756957e+257)
(1.1111111111111107, 2.314615584576486e-152)
(3.333333333333334, 6.013469534007704e-154)
(5.555555555555557, 6.186184043672807e+223)
(7.777777777777779, 3.9925557287005434e+252)
(10.0, 4.779395463948964e-10)
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение 2yy'=1-3x^2 (2 у у штрих первого (1-го) порядка равно 1 минус 3 х в квадрате) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Идентичные выражения:
два yy'= один -3x^2
2 у у штрих первого (1-го) порядка равно 1 минус 3 х в квадрате
два у у штрих первого (1-го) порядка равно один минус 3 х в квадрате
2yy'=1-3x2
2yy'=1-3x²
2yy'=1-3x в степени 2