Дифференциальное уравнение 2yy'=y^2+1

-
+
С неизвестной функцией
(
)
Для задачи Коши
y
=
y’
=
y’’
=
y’’’
=
y’’’’
=
График
от
до

Решение

Вы ввели

$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{1}{2}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{2}$$
или
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{2}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \int \frac{1}{2}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const + \frac{x}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{x} - 1}$$
y_2 =

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{x} - 1}$$

График для задачи Коши

Классификация

factorable
separable
1st exact
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral

Численный ответ

(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 3.6631213249653043)
(-5.555555555555555, 11.491339267521951)
(-3.333333333333333, 35.02526037937848)
(-1.1111111111111107, 106.43600552633302)
(1.1111111111111107, 323.3367660498807)
(3.333333333333334, 982.2145764964431)
(5.555555555555557, 2983.705867928659)
(7.777777777777779, 9063.698759182667)
(10.0, 27533.086425326026)

Еще ссылки

Решите дифференциальное уравнение 2yy'=y^2+1 (2 у у штрих первого (1-го) порядка равно у в квадрате плюс 1) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:

Дифференциальное уравнение

График функции y =

Идентичные выражения:

два yy'=y^2+ один
2 у у штрих первого (1-го) порядка равно у в квадрате плюс 1
два у у штрих первого (1-го) порядка равно у в квадрате плюс один
2yy'=y2+1
2yy'=y²+1
2yy'=y в степени 2+1