$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 2$$

Дано уравнение:
$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 2$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{2 - y^{2}{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \frac{2 - y^{2}{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)}}$$
получим
$$\frac{2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
или
$$\frac{2 dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(y^{2} - 2 \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$