$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} = 1$$

Дано уравнение:
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} = 1$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{1}{2 x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{2 x}$$
или
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{2 x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy = \int \frac{1}{2 x}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} \right)}$$

$$y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} \right)}$$