$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{3}$$

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{3}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - x^{3}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x^{3}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x^{3}$$
или
$$- dy y{\left(x \right)} = - dx x^{3}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- x^{3}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{4}}{4}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 2 x^{4}}}{2}$$

y_2 =

$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 2 x^{4}}}{2}$$

$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 2 x^{4}}}{2}$$

$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 2 x^{4}}}{2}$$