$$- a y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Дано уравнение:
$$- a y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = 0$$
$$q = - a$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$- a + k^{2} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = - \sqrt{a}$$
$$k_{2} = \sqrt{a}$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \sqrt{a} x} + C_{2} e^{\sqrt{a} x}$$

$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \sqrt{a} x} + C_{2} e^{\sqrt{a} x}$$