Дифференциальное уравнение y''+2y'-8y=2e^(-2x)-e^(-x)

-
+
С неизвестной функцией
(
)
Для задачи Коши
y
=
y’
=
y’’
=
y’’’
=
y’’’’
=
График
от
до

Решение

Вы ввели

$$- 8 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - e^{- x} + 2 e^{- 2 x}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 8 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - e^{- x} + 2 e^{- 2 x}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = 2$$
$$q = -8$$
$$s = e^{- x} - 2 e^{- 2 x}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 2 k - 8 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = -4$$
$$k_{2} = 2$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 4 x} + C_{2} e^{2 x}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 4 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = exp(-4*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(2*x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = - e^{- x} + 2 e^{- 2 x}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 4 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = - e^{- x} + 2 e^{- 2 x}$$
или
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 4 e^{- 4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - e^{- x} + 2 e^{- 2 x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\left(e^{x} - 2\right) e^{2 x}}{6}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(2 - e^{x}\right) e^{- 4 x}}{6}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\left(e^{x} - 2\right) e^{2 x}}{6}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(2 - e^{x}\right) e^{- 4 x}}{6}\, dx$$
или
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{e^{3 x}}{18} - \frac{e^{2 x}}{6}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{e^{- 3 x}}{18} - \frac{e^{- 4 x}}{12}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 4 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 4 x} + C_{4} e^{2 x} + \frac{e^{- x}}{9} - \frac{e^{- 2 x}}{4}$$
где C3 и C4 есть константы

Ответ

$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 4 x} + C_{2} e^{2 x} + \frac{e^{- x}}{9} - \frac{e^{- 2 x}}{4}$$

Классификация

nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral

Еще ссылки

Решите дифференциальное уравнение y''+2y'-8y=2e^(-2x)-e^(-x) (у два штриха второго (2-го) порядка плюс 2 у штрих первого (1-го) порядка минус 8 у равно 2e в степени (минус 2 х) минус e в степени (минус х)) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:

Идентичные выражения:

y''+2y'-8y=2e^(-2x)-e^(-x)
у два штриха второго (2-го) порядка плюс 2 у штрих первого (1-го) порядка минус 8 у равно 2e в степени ( минус 2 х ) минус e в степени ( минус х )
у два штриха второго (2-го) порядка плюс 2 у штрих первого (1-го) порядка минус 8 у равно 2e в степени ( минус 2 х ) минус e в степени ( минус х )
y''+2y'-8y=2e(-2x)-e(-x)