Дифференциальное уравнение y''+4y'-12y=8sin2x
Решение
Вы ввели
$$- 12 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$- 12 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$p = 4$$
$$q = -12$$
$$s = - 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 4 k - 12 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = -6$$
$$k_{2} = 2$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 6 x} + C_{2} e^{2 x}$$
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x
И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = exp(-6*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(2*x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 6 x} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
или
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} - 6 e^{- 6 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - e^{6 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- e^{6 x} \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{3 e^{6 x} \sin{\left(2 x \right)}}{20} + \frac{e^{6 x} \cos{\left(2 x \right)}}{20}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 6 x} + C_{4} e^{2 x} - \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
где C3 и C4 есть константы
$$- 12 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
y'' + p*y' + q*y = s,
где
$$p = 4$$
$$q = -12$$
$$s = - 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
y'' + p*y' + q*y = 0
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 4 k - 12 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = -6$$
$$k_{2} = 2$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 6 x} + C_{2} e^{2 x}$$
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
y'' + p*y' + q*y = s
Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x
И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = exp(-6*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(2*x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 6 x} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
или
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} - 6 e^{- 6 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 8 \sin{\left(2 x \right)}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - e^{6 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- e^{6 x} \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{3 e^{6 x} \sin{\left(2 x \right)}}{20} + \frac{e^{6 x} \cos{\left(2 x \right)}}{20}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{- 6 x} + C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 6 x} + C_{4} e^{2 x} - \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
где C3 и C4 есть константы
Ответ
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 6 x} + C_{2} e^{2 x} - \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
Классификация
factorable
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение y''+4y'-12y=8sin2x (у два штриха второго (2-го) порядка плюс 4 у штрих первого (1-го) порядка минус 12 у равно 8 синус от 2 х) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Дифференциальное уравнение
Идентичные выражения:
y''+4y'-12y=8sin2x
у два штриха второго (2-го) порядка плюс 4 у штрих первого (1-го) порядка минус 12 у равно 8 синус от 2 х
у два штриха второго (2-го) порядка плюс 4 у штрих первого (1-го) порядка минус 12 у равно 8 синус от 2 х