$$4 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x + \sin{\left(x \right)}$$

Дано уравнение:
$$4 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x + \sin{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = 4$$
$$q = 4$$
$$s = - x - \sin{\left(x \right)}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 4 k + 4 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корень этого ур-ния:
$$k_{1} = -2$$
Т.к. корень характ. ур-ния один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Подставляем $$k_{1} = -2$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} x e^{- 2 x}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 2 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 2 x}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = exp(-2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(-2*x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = x + \sin{\left(x \right)}$$
Значит, система примет вид:
$$x e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 2 x} = x + \sin{\left(x \right)}$$
или
$$x e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = x + \sin{\left(x \right)}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - x \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) e^{2 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) e^{2 x}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) e^{2 x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) e^{2 x}\, dx$$
или
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{2 x e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{x e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{4 e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{e^{2 x}}{4}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x}}{4}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 2 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 2 x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 2 x} + C_{4} x e^{- 2 x} + \frac{x}{4} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{1}{4}$$
где C3 и C4 есть константы

$$y{\left(x \right)} = \frac{x}{4} + \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{- 2 x} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{1}{4}$$