$$9 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 6 e^{3 x}$$

Дано уравнение:
$$9 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 6 e^{3 x}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = 0$$
$$q = 9$$
$$s = - 6 e^{3 x}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 9 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = - 3 i$$
$$k_{2} = 3 i$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни имеют чисто мнимый вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(3 x \right)} + C_{2} \cos{\left(3 x \right)}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + C_{2}{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = sin(3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = cos(3*x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = 6 e^{3 x}$$
Значит, система примет вид:
$$\sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(3 x \right)} = 6 e^{3 x}$$
или
$$\sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 3 \sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 6 e^{3 x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} + \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = - \frac{2 e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} + \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} + \cos^{2}{\left(3 x \right)}}\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{2 e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} + \cos^{2}{\left(3 x \right)}}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{2 e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{2 e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{2 e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + C_{2}{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(3 x \right)} + C_{4} \cos{\left(3 x \right)} + \frac{2 e^{3 x} \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{2 e^{3 x} \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$$
где C3 и C4 есть константы

$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(3 x \right)} + C_{2} \cos{\left(3 x \right)} + \frac{e^{3 x}}{3}$$