Дифференциальное уравнение y’’+2y’+y=0
Решение
Вы ввели
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$p = 2$$
$$q = 1$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 2 k + 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корень этого ур-ния:
$$k_{1} = -1$$
Т.к. корень характ. ур-ния один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Подставляем $$k_{1} = -1$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{- x}$$
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
y'' + p*y' + q*y = 0,
где
$$p = 2$$
$$q = 1$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
y'' + p*y' + q*y = 0
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 2 k + 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корень этого ур-ния:
$$k_{1} = -1$$
Т.к. корень характ. ур-ния один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Подставляем $$k_{1} = -1$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{- x}$$
Ответ
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{- x}$$
Классификация
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение y’’+2y’+y=0 (у ’’ плюс 2 у ’ плюс у равно 0) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Дифференциальное уравнение
Идентичные выражения:
y’’+2y’+y= ноль
у ’’ плюс 2 у ’ плюс у равно 0
у ’’ плюс 2 у ’ плюс у равно ноль
y’’+2y’+y=O