$$- 3 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(12 x^{2} + 6 x - 4\right) e^{x}$$

Дано уравнение:
$$- 3 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(12 x^{2} + 6 x - 4\right) e^{x}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = 2$$
$$q = -3$$
$$s = - \left(12 x^{2} + 6 x - 4\right) e^{x}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + 2 k - 3 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = -3$$
$$k_{2} = 1$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{x}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = exp(-3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = \left(12 x^{2} + 6 x - 4\right) e^{x}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 3 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = \left(12 x^{2} + 6 x - 4\right) e^{x}$$
или
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 3 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(12 x^{2} + 6 x - 4\right) e^{x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\left(- 6 x^{2} - 3 x + 2\right) e^{4 x}}{2}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 3 x^{2} + \frac{3 x}{2} - 1$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\left(- 6 x^{2} - 3 x + 2\right) e^{4 x}}{2}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(3 x^{2} + \frac{3 x}{2} - 1\right)\, dx$$
или
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(1 - 3 x^{2}\right) e^{4 x}}{4}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{4} - x$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 3 x} + C_{4} e^{x} + x^{3} e^{x} - x e^{x} + \frac{e^{x}}{4}$$
где C3 и C4 есть константы

$$y{\left(x \right)} = C_{2} e^{- 3 x} + \left(C_{1} + x^{3} - x\right) e^{x}$$