$$y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = 1$$
$$q = 1$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + k + 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}$$

$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}$$