$$- a y{\left(t \right)} + b y^{2}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 0$$

Дано уравнение:
$$- a y{\left(t \right)} + b y^{2}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \left(a - b y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\left(a - b y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\left(a - b y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные t и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dt,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\left(a - b y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = dt$$
или
$$\frac{dy}{\left(a - b y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = dt$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \frac{1}{y \left(a - b y\right)}\, dy = \int 1\, dt$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{- \log{\left(y \right)} + \log{\left(- \frac{a}{b} + y \right)}}{a} = Const + t$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(t \right)} = \frac{a e^{a \left(C_{1} + t\right)}}{b \left(e^{a \left(C_{1} + t\right)} - 1\right)}$$

$$y{\left(t \right)} = \frac{a e^{a \left(C_{1} + t\right)}}{b \left(e^{a \left(C_{1} + t\right)} - 1\right)}$$