$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{3 x + 4}{2 y{\left(x \right)} - 5}$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{3 x + 4}{2 y{\left(x \right)} - 5}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 3 x + 4$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)} - 5}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{2 y{\left(x \right)} - 5}$$
получим
$$\left(2 y{\left(x \right)} - 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 3 x + 4$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx \left(2 y{\left(x \right)} - 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(3 x + 4\right)$$
или
$$dy \left(2 y{\left(x \right)} - 5\right) = dx \left(3 x + 4\right)$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(2 y - 5\right)\, dy = \int \left(3 x + 4\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$y^{2} - 5 y = Const + \frac{3 x^{2}}{2} + 4 x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{2} + 16 x}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{2} + 16 x}}{2} + \frac{5}{2}$$

$$y{\left(x \right)} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{2} + 16 x}}{2}$$

$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{2} + 16 x}}{2} + \frac{5}{2}$$