$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 \sqrt{y{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 \sqrt{y{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = 2 \log{\left(x \right)}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\sqrt{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = 2 \log{\left(x \right)}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = 2 dx \log{\left(x \right)}$$
или
$$\frac{dy}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = 2 dx \log{\left(x \right)}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = \int 2 \log{\left(x \right)}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$2 \sqrt{y} = Const + 2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x \log{\left(x \right)} - C_{1} x + x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2}$$

$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x \log{\left(x \right)} - C_{1} x + x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2}$$