$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x e^{y{\left(x \right)}}$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x e^{y{\left(x \right)}}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = x$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = e^{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$e^{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx x$$
или
$$dy e^{- y{\left(x \right)}} = dx x$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int e^{- y}\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- e^{- y} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + x^{2}} \right)} + \log{\left(2 \right)}$$

$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + x^{2}} \right)} + \log{\left(2 \right)}$$