$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$

Дано уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
или
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$

$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}}$$