Дифференциальное уравнение yy'=x
Решение
Вы ввели
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx x$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx x$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx x$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx x$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
Ответ
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
График для задачи Коши
Численный ответ
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -2.597191692972768e-09)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 1.4655069780866805e-75)
(7.777777777777779, 8.388243571812548e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение yy'=x (у у штрих первого (1-го) порядка равно х) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Дифференциальное уравнение
Идентичные выражения:
yy'=x
у у штрих первого (1-го) порядка равно х
у у штрих первого (1-го) порядка равно х