$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = x^{2}$$

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y':
$$x$$
Получим уравнение:
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}}{x} = x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = Q(x)

где
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
и
$$Q{\left(x \right)} = x$$
и называется линейным неоднородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние

y' + P(x)y = 0

с разделяющимися переменными
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{1}{x}\, dx = \log{\left(x \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{x}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{x}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = \frac{C}{x}$$
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y' + P(x)y = Q(x)

Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x

$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x}$$
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
Получим простейшее дифф. ур-ние для C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = x^{2}$$
Зн., C(x) =
$$\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3} + Const$$
Подробное решение интеграла
подставим C(x) в
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x}$$
и получим окончательный ответ для y(x):
$$\frac{\frac{x^{3}}{3} + Const}{x}$$

$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + \frac{x^{3}}{3}}{x}$$