Дифференциальное уравнение xdx = ydy
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx x$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx x$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx x$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx x$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
Ответ
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
График для задачи Коши
Классификация
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st homogeneous coeff best
1st homogeneous coeff subs indep div dep
1st homogeneous coeff subs dep div indep
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
1st homogeneous coeff subs indep div dep Integral
1st homogeneous coeff subs dep div indep Integral
Численный ответ
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -2.597191692972768e-09)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 2.787318153179911e+179)
(7.777777777777779, 8.388243567356342e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение xdx = ydy (х дэ икс равно у дэ игрек) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Идентичные выражения:
xdx = ydy
х дэ икс равно у дэ игрек
х дэ икс равно у дэ игрек