Дифференциальное уравнение x+y'(y+xy)=0
Решение
Вы ввели
$$x + \left(x y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x + \left(x y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{x}{x + 1}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x}{x + 1}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx x}{x + 1}$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = - \frac{dx x}{x + 1}$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int \left(- \frac{x}{x + 1}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - x + \log{\left(x + 1 \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}$$
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}$$
$$x + \left(x y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{x}{x + 1}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x}{x + 1}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx x}{x + 1}$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = - \frac{dx x}{x + 1}$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int \left(- \frac{x}{x + 1}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - x + \log{\left(x + 1 \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
y_1 =
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}$$
y_2 =
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}$$
Ответ
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}$$
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x + \log{\left(x + 1 \right)}}$$
График для задачи Коши
Классификация
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Численный ответ
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 8.222946274422948e-10)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 1.463026339091457e+185)
(7.777777777777779, 8.38824357182891e+296)
(10.0, 1.3350444386572707e-306)
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение x+y'(y+xy)=0 (х плюс у штрих первого (1-го) порядка (у плюс х у) равно 0) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Дифференциальное уравнение
Идентичные выражения:
x+y'(y+xy)= ноль
х плюс у штрих первого (1-го) порядка ( у плюс х у ) равно 0
х плюс у штрих первого (1-го) порядка ( у плюс х у ) равно ноль
x+y'(y+xy)=O