$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$

Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
В данном ур-нии переменные x и y уже разделены.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$dy = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int 1\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$y = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} - \log{\left(x \right)}$$

$$y{\left(x \right)} = 0$$

$$y{\left(x \right)} = C_{1} - \log{\left(x \right)}$$