$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(y{\left(x \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \left(y{\left(x \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{dy}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \left(y + 1\right)}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(y \right)} + \log{\left(y + 1 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{x}{C_{1} + x}$$

$$y{\left(x \right)} = - \frac{x}{C_{1} + x}$$