$$x y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$

Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
подставляем
$$x^{2} u{\left(x \right)} + x u{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
или
$$x^{2} u{\left(x \right)} - x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(u)
$$u{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = dx$$
или
$$\frac{du}{u{\left(x \right)}} = dx$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{u}\, du = \int 1\, dx$$
Подробное решение интеграла с u
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(u \right)} = Const + x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной u.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = C_{1} e^{x}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = C_{1} x e^{x}$$

$$y{\left(x \right)} = C_{1} x e^{x}$$