$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} + 1$$

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$x$$
Получим уравнение:
y'' = $$\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}$$
Это дифф. уравнение вида:

y'' = f(x)

Оно решается умножением обеих частей ур-ния на dx:

y''dx = f(x)dx, или

d(y') = f(x)dx

И взятием от обеих частей ур-ния интегралов:

∫ d(y') = ∫ f(x) dx

или

y' = ∫ f(x) dx

В нашем случае,
f(x) = $$\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}$$
y' = $$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$$ + C1
где C1 - это постоянная, не зависящая от x.

Повторяем ещё раз:

∫ dy =

Значит, решением будет
y = $$\int \left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла
или
y = $$C_{1} x + \frac{x \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$ + C2
где C2 - это постоянная, не зависящая от x

$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} x + \frac{x \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$