$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(\log{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}$$

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(\log{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
подставляем
$$- x u{\left(x \right)} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
или
$$x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = - u{\left(x \right)} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(u)
$$- u{\left(x \right)} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{du}{u{\left(x \right)} \log{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{u \log{\left(u \right)}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с u
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(\log{\left(u \right)} \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной u.
(Const - это константа)

Решением будет:

u_1 =

$$u{\left(x \right)} = e^{C_{1} x}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x e^{C_{1} x}$$

$$y{\left(x \right)} = x e^{C_{1} x}$$