Дифференциальное уравнение xy'=y^2
Решение
Вы ввели
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{1}{y} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{1}{y} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
y_1 =
$$y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}$$
Ответ
$$y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}$$
График для задачи Коши
Классификация
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st rational riccati
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
separable reduced Integral
Численный ответ
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.6310550020700579)
(-5.555555555555555, 0.5205295689572595)
(-3.333333333333333, 0.4111932156650741)
(-1.1111111111111107, 0.28324107592703995)
(1.1111111111111107, 0.015444110020876613)
(3.333333333333334, 6.520206918756715e+252)
(5.555555555555557, 5.285579080760028e+180)
(7.777777777777779, 6.855865763591237e+180)
(10.0, 1.736955363434947e+185)
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение xy'=y^2 (х у штрих первого (1-го) порядка равно у в квадрате) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Дифференциальное уравнение
Интеграл
Производная
График функции y =
Идентичные выражения:
xy'=y^ два
х у штрих первого (1-го) порядка равно у в квадрате
х у штрих первого (1-го) порядка равно у в степени два
xy'=y2
xy'=y²
xy'=y в степени 2