Дифференциальное уравнение xy'=y^2-1
Решение
Вы ввели
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Приведём ур-ние к виду:
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx}{x}$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{2} - 1}\, dy = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{\log{\left(y - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(y + 1 \right)}}{2} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$y{\left(x \right)} = \frac{- x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}{x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx}{x}$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{2} - 1}\, dy = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{\log{\left(y - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(y + 1 \right)}}{2} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
y_1 =
$$y{\left(x \right)} = \frac{- x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}{x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}$$
Ответ
$$y{\left(x \right)} = \frac{- x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}{x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}$$
График для задачи Коши
Классификация
factorable
separable
1st exact
1st rational riccati
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
separable reduced Integral
Численный ответ
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8409090847645219)
(-5.555555555555555, 0.9155405292883265)
(-3.333333333333333, 0.9687499964880321)
(-1.1111111111111107, 0.9964788800776775)
(1.1111111111111107, 0.9964823322305864)
(3.333333333333334, 0.9687801152079627)
(5.555555555555557, 0.9156194972414724)
(7.777777777777779, 0.841051996722997)
(10.0, 0.7502134763812907)
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение xy'=y^2-1 (х у штрих первого (1-го) порядка равно у в квадрате минус 1) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Дифференциальное уравнение
Разложить многочлен на множители
уравнение
Идентичные выражения:
xy'=y^ два - один
х у штрих первого (1-го) порядка равно у в квадрате минус 1
х у штрих первого (1-го) порядка равно у в степени два минус один
xy'=y2-1
xy'=y²-1
xy'=y в степени 2-1