Дифференциальное уравнение xyy′=1-x^2
Решение
Вы ввели
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1 - x^{2}}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x + \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int \left(- x + \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1 - x^{2}}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x + \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int \left(- x + \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)
Решением будет:
y_1 =
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
y_2 =
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
Ответ
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
График для задачи Коши
Классификация
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Численный ответ
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 6.2901547121690315)
(-5.555555555555555, 8.277845941334105)
(-3.333333333333333, 9.340994054797356)
(-1.1111111111111107, 9.743380695632029)
(1.1111111111111107, 0.40927251619122734)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 5.990627014160885e-66)
(7.777777777777779, 8.38824356771954e+296)
(10.0, 7.565252354453983e-307)
Еще ссылки
Решите дифференциальное уравнение xyy′=1-x^2 (х у у ′ равно 1 минус х в квадрате) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:
Дифференциальное уравнение
уравнение
Разложить многочлен на множители
Интеграл
Идентичные выражения:
xyy′= один -x^ два
х у у ′ равно 1 минус х в квадрате
х у у ′ равно один минус х в степени два
xyy′=1-x2
xyy′=1-x²
xyy′=1-x в степени 2