$$x^{2} = y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x^{2}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x^{2}$$
или
$$- dy y{\left(x \right)} = - dx x^{2}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- x^{2}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{3}}{3}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{3}}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{3}}}{3}$$

$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{3}}}{3}$$

$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 6 x^{3}}}{3}$$