$$x^{2} - x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$

Дано уравнение:
$$x^{2} - x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
подставляем
$$x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} + x^{2} = 0$$
или
$$- x^{3} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + x^{2} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = - \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(u)
$$- \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
получим
$$- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- du u{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- u\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с u
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{u^{2}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной u.
(Const - это константа)

Решением будет:

u_1 =

$$u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$

u_2 =

$$u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - x \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$y2 = y(x) = x \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$

$$y{\left(x \right)} = - x \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$

$$y{\left(x \right)} = x \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}$$