∫ Решение несобственного интеграла - Калькулятор Онлайн

Несобственный интеграл

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение интеграла😉

v

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Что умеет?

Используя данные примеры, вы можете:

  • Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
    1. сходится
    2. расходится
    3. на условную сходимость (расходимость)
    4. на абсолютную сходимость (расходимость)
  • Вычислить несобственный интеграл
    1. 1-го рода (с бесконечным нижним или верхним пределом, с двумя бесконечными пределами)
    2. 2-го рода (от функций, имеющий неопределённость или расходимость в точки)
    3. условно и абсолютно расходящиеся

Калькулятор использует методы:

  • I признак сравнения
  • II признак сравнения
  • Принцип Дирихле
  • Формулу Ньютон-Лейбница для несобственного интеграла 2-го рода (первообразной)

Для функций:

  • Монотонных на промежутке интегрирования (монотонно возрастающих или убывающих)
  • Положительных или отрицательных на этом промежутке
  • Имеющих разрыв (стремящиюся к бесконечности) или непрерывных
  • Знакопеременных

Примеры несобственных интегралов

Несобственный интеграл 1-го рода

$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} x^{- p}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} \sin{\left(x \right)}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} x \sin{\left(x \right)}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} x e^{- x^{2}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} e^{- x}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} \lambda x e^{- \lambda x}\, dx$$

Первый признак сравнения

$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} \left(e^{x} + 1\right)}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{x + 3}{x^{\frac{4}{3}}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x} + 3 x}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{5} + 1}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x}}\, dx$$

Исследование на условную сходимость

$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\, dx$$

Основная формула интегрального исчисления

$$\int\limits_{-1}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\, dx$$

Второй признак сравнения

$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} + 2}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{5} + 1}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{3}}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{e^{\sin{\left(x \right)}} - 1}\, dx$$

Исследование интеграла от знакопеременной функции на абсолютную сходимость

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$

Признак Дирихле

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\, dx$$

Несобственный интеграл 2-го рода

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} x^{- p}\, dx$$
$$\int\limits_{a}^{b} \frac{1}{b - x}\, dx$$
$$\int\limits_{a}^{b} \left(b - x\right)^{- p}\, dx$$

Введите функцию, для которой надо найти несобственный интеграл

Найдём решение несобственного интеграла с заданными пределами интегрирования.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

x*arcsin(x)

Арккосинус

x*arccos(x)

Применение логарифма

x*log(x, 10)

Натуральный логарифм

ln(x)/x

Экспонента

exp(x)*x

Тангенс

tg(x)*sin(x)

Котангенс

ctg(x)*cos(x)

Иррациональные дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

x*arctg(x)

Арккотангенс

x*arcctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
15/7
- дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция - арксеканс от x
acsc(x)
Функция - арккосеканс от x
sec(x)
Функция - секанс от x
csc(x)
Функция - косеканс от x
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция - гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция - гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция - гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция - гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности - знак для бесконечности