x1+2*x2+x3=8 -2*x1+3*x2-3*x3=-5 3*x1-4*x2+5*x3=10

Вы ввели

x1 + 2*x2 + x3 = 8

$$x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 8$$

-2*x1 + 3*x2 - 3*x3 = -5

$$- 3 x_{3} + - 2 x_{1} + 3 x_{2} = -5$$

3*x1 - 4*x2 + 5*x3 = 10

$$5 x_{3} + 3 x_{1} - 4 x_{2} = 10$$

Быстрый ответ

$$x_{31} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$x_{11} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$x_{21} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 8$$
$$- 3 x_{3} + - 2 x_{1} + 3 x_{2} = -5$$
$$5 x_{3} + 3 x_{1} - 4 x_{2} = 10$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 8$$
$$- 2 x_{1} + 3 x_{2} - 3 x_{3} = -5$$
$$3 x_{1} - 4 x_{2} + 5 x_{3} = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\- 3 x_{3} + - 2 x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{3} + 3 x_{1} - 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\-5\\10\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1\\-2 & 3 & -3\\3 & -4 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 2 & 1\\-5 & 3 & -3\\10 & -4 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 8 & 1\\-2 & -5 & -3\\3 & 10 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{3} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 8\\-2 & 3 & -5\\3 & -4 & 10\end{matrix}\right] \right )} = 3$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 8$$
$$- 3 x_{3} + - 2 x_{1} + 3 x_{2} = -5$$
$$5 x_{3} + 3 x_{1} - 4 x_{2} = 10$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 8$$
$$- 2 x_{1} + 3 x_{2} - 3 x_{3} = -5$$
$$3 x_{1} - 4 x_{2} + 5 x_{3} = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 8\\-2 & 3 & -3 & -5\\3 & -4 & 5 & 10\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -1 & 11\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -1 & 11\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 8\\0 & 7 & -1 & 11\\3 & -4 & 5 & 10\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & 2 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -10 & 2 & -14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 8\\0 & 7 & -1 & 11\\0 & -10 & 2 & -14\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\7\\-10\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -1 & 11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{-2}{7} + 1 & - \frac{22}{7} + 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{9}{7} & \frac{34}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{9}{7} & \frac{34}{7}\\0 & 7 & -1 & 11\\0 & -10 & 2 & -14\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{10}{7} + 2 & -14 - - \frac{110}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{9}{7} & \frac{34}{7}\\0 & 7 & -1 & 11\\0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{9}{7}\\-1\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{9}{7} + \frac{9}{7} & - \frac{27}{7} + \frac{34}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 7 & -1 & 11\\0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & 14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & 14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 7 & 0 & 14\\0 & 0 & \frac{4}{7} & \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$7 x_{2} - 14 = 0$$
$$\frac{4 x_{3}}{7} - \frac{12}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$

Численный ответ

x11 = 1.00000000000000
x21 = 2.00000000000000
x31 = 3.00000000000000