5*x+6*y-2*z=2 2*x+3*y-z=9 3*x+3*y-z=1
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[src]
5*x + 6*y - 2*z = 2
$$- 2 z + 5 x + 6 y = 2$$
2*x + 3*y - z = 9
$$- z + 2 x + 3 y = 9$$
3*x + 3*y - z = 1
$$- z + 3 x + 3 y = 1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$- 2 z + 5 x + 6 y = 2$$
$$- z + 2 x + 3 y = 9$$
$$- z + 3 x + 3 y = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 6 y - 2 z = 2$$
$$2 x + 3 y - z = 9$$
$$3 x + 3 y - z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 6 & -2 & 2\\2 & 3 & -1 & 9\\3 & 3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 6 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{12}{5} + 3 & -1 - - \frac{4}{5} & - \frac{4}{5} + 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 6 & -2 & 2\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\\3 & 3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{18}{5} + 3 & -1 - - \frac{6}{5} & - \frac{6}{5} + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 6 & -2 & 2\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\\0 & - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\\frac{3}{5}\\- \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & -80\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & -80\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & -80\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\\0 & - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{5} - - \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} - - \frac{41}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & -80\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\\0 & 0 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
Составляем элементарные ур-ния из решенной матрицы и видим, что эта система ур-ния не имеет решений
$$5 x_{1} + 80 = 0$$
$$\frac{3 x_{2}}{5} - \frac{x_{3}}{5} - \frac{41}{5} = 0$$
$$0 - 8 = 0$$
Получаем ответ:
Данная система ур-ний не имеет решений
$$- 2 z + 5 x + 6 y = 2$$
$$- z + 2 x + 3 y = 9$$
$$- z + 3 x + 3 y = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 6 y - 2 z = 2$$
$$2 x + 3 y - z = 9$$
$$3 x + 3 y - z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 6 & -2 & 2\\2 & 3 & -1 & 9\\3 & 3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 6 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{12}{5} + 3 & -1 - - \frac{4}{5} & - \frac{4}{5} + 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 6 & -2 & 2\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\\3 & 3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{18}{5} + 3 & -1 - - \frac{6}{5} & - \frac{6}{5} + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 6 & -2 & 2\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\\0 & - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\\frac{3}{5}\\- \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & -80\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & -80\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & -80\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\\0 & - \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{5} - - \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} - - \frac{41}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & -80\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{41}{5}\\0 & 0 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
Составляем элементарные ур-ния из решенной матрицы и видим, что эта система ур-ния не имеет решений
$$5 x_{1} + 80 = 0$$
$$\frac{3 x_{2}}{5} - \frac{x_{3}}{5} - \frac{41}{5} = 0$$
$$0 - 8 = 0$$
Получаем ответ:
Данная система ур-ний не имеет решений