2*x-4*y+3*z=1 x-2*y-4*z=3 3*x-y+5*z=2

Вы ввели

2*x - 4*y + 3*z = 1

$$3 z + 2 x - 4 y = 1$$

x - 2*y - 4*z = 3

$$- 4 z + x - 2 y = 3$$

3*x - y + 5*z = 2

$$5 z + 3 x - y = 2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{81}{55}$$
=
$$\frac{81}{55}$$
=

1.47272727272727

$$z_{1} = - \frac{5}{11}$$
=
$$- \frac{5}{11}$$
=

-0.454545454545455

$$y_{1} = \frac{8}{55}$$
=
$$\frac{8}{55}$$
=

0.145454545454545

Метод Крамера

$$3 z + 2 x - 4 y = 1$$
$$- 4 z + x - 2 y = 3$$
$$5 z + 3 x - y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 4 y + 3 z = 1$$
$$x - 2 y - 4 z = 3$$
$$3 x - y + 5 z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{3} + 2 x_{1} - 4 x_{2}\\- 4 x_{3} + x_{1} - 2 x_{2}\\5 x_{3} + 3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\3\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -4 & 3\\1 & -2 & -4\\3 & -1 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 55$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{55} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -4 & 3\\3 & -2 & -4\\2 & -1 & 5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{81}{55}$$
$$x_{2} = \frac{1}{55} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 & 3\\1 & 3 & -4\\3 & 2 & 5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{8}{55}$$
$$x_{3} = \frac{1}{55} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -4 & 1\\1 & -2 & 3\\3 & -1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{5}{11}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 z + 2 x - 4 y = 1$$
$$- 4 z + x - 2 y = 3$$
$$5 z + 3 x - y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 4 y + 3 z = 1$$
$$x - 2 y - 4 z = 3$$
$$3 x - y + 5 z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -4 & 3 & 1\\1 & -2 & -4 & 3\\3 & -1 & 5 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -4 & 3 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -4 - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -4 & 3 & 1\\0 & 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2}\\3 & -1 & 5 & 2\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & - \frac{9}{2} + 5 & - \frac{3}{2} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 5 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -4 & 3 & 1\\0 & 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2}\\0 & 5 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-4\\0\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{-2}{5} + 3 & - \frac{-2}{5} + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{17}{5} & \frac{7}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{17}{5} & \frac{7}{5}\\0 & 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2}\\0 & 5 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{17}{5}\\- \frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{17}{5} + \frac{17}{5} & \frac{7}{5} - - \frac{17}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & \frac{162}{55}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & \frac{162}{55}\\0 & 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2}\\0 & 5 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & - \frac{-5}{22} + \frac{1}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 5 & 0 & \frac{8}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & \frac{162}{55}\\0 & 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2}\\0 & 5 & 0 & \frac{8}{11}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - \frac{162}{55} = 0$$
$$- \frac{11 x_{3}}{2} - \frac{5}{2} = 0$$
$$5 x_{2} - \frac{8}{11} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{81}{55}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{11}$$
$$x_{2} = \frac{8}{55}$$

Численный ответ

x1 = 1.472727272727273
y1 = 0.1454545454545455
z1 = -0.4545454545454545