2*x+y+3*k=4 x+y-2*z=0 3*x+z-k=2 2*x+z+k=3 x+y+4*z-3*k=-3

Вы ввели

[LaTeX]

2*x + y + 3*k = 4

$$3 k + 2 x + y = 4$$

x + y - 2*z = 0

$$- 2 z + x + y = 0$$

3*x + z - k = 2

$$- k + 3 x + z = 2$$

2*x + z + k = 3

$$k + 2 x + z = 3$$

x + y + 4*z - 3*k = -3

$$- 3 k + 4 z + x + y = -3$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$k_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$3 k + 2 x + y = 4$$
$$- 2 z + x + y = 0$$
$$- k + 3 x + z = 2$$
$$k + 2 x + z = 3$$
$$- 3 k + 4 z + x + y = -3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 k + 2 x + y = 4$$
$$x + y - 2 z = 0$$
$$- k + 3 x + z = 2$$
$$k + 2 x + z = 3$$
$$- 3 k + x + y + 4 z = -3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\0 & 1 & 1 & -2 & 0\\-1 & 3 & 0 & 1 & 2\\1 & 2 & 0 & 1 & 3\\-3 & 1 & 1 & 4 & -3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\0\\-1\\1\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-2}{3} + 3 & - \frac{-1}{3} & 1 & - \frac{-4}{3} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} & 1 & \frac{10}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\0 & 1 & 1 & -2 & 0\\0 & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} & 1 & \frac{10}{3}\\1 & 2 & 0 & 1 & 3\\-3 & 1 & 1 & 4 & -3\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{2}{3} + 2 & - \frac{1}{3} & 1 & - \frac{4}{3} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\0 & 1 & 1 & -2 & 0\\0 & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} & 1 & \frac{10}{3}\\0 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & \frac{5}{3}\\-3 & 1 & 1 & 4 & -3\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\0 & 1 & 1 & -2 & 0\\0 & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} & 1 & \frac{10}{3}\\0 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & \frac{5}{3}\\0 & 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\\frac{11}{3}\\\frac{4}{3}\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{2} & 0 & - \frac{1}{2} + 1 & -2 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -2 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\- \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -2 & -2\\0 & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} & 1 & \frac{10}{3}\\0 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & \frac{5}{3}\\0 & 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{11}{2} & - \frac{11}{3} + \frac{11}{3} & - \frac{11}{6} + \frac{1}{3} & 1 & - \frac{22}{3} + \frac{10}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{11}{2} & 0 & - \frac{3}{2} & 1 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\- \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -2 & -2\\- \frac{11}{2} & 0 & - \frac{3}{2} & 1 & -4\\0 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & \frac{5}{3}\\0 & 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} & 1 & - \frac{8}{3} + \frac{5}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & -1 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\- \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -2 & -2\\- \frac{11}{2} & 0 & - \frac{3}{2} & 1 & -4\\-2 & 0 & -1 & 1 & -1\\0 & 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{9}{2} & 0 & - \frac{3}{2} + 2 & 4 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{9}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 4 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\- \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -2 & -2\\- \frac{11}{2} & 0 & - \frac{3}{2} & 1 & -4\\-2 & 0 & -1 & 1 & -1\\- \frac{9}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 4 & -5\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\\- \frac{3}{2}\\-1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} & -1 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & -2 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3 & -1 & 0 & -2 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\-3 & -1 & 0 & -2 & -4\\- \frac{11}{2} & 0 & - \frac{3}{2} & 1 & -4\\-2 & 0 & -1 & 1 & -1\\- \frac{9}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 4 & -5\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{11}{2} - - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} & 1 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 3 & 0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\-3 & -1 & 0 & -2 & -4\\-1 & 3 & 0 & 1 & 2\\-2 & 0 & -1 & 1 & -1\\- \frac{9}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 4 & -5\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\-3 & -1 & 0 & -2 & -4\\-1 & 3 & 0 & 1 & 2\\1 & 2 & 0 & 1 & 3\\- \frac{9}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 4 & -5\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{9}{2} - \frac{3}{2} & -1 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & 4 & -7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-6 & -1 & 0 & 4 & -7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\-3 & -1 & 0 & -2 & -4\\-1 & 3 & 0 & 1 & 2\\1 & 2 & 0 & 1 & 3\\-6 & -1 & 0 & 4 & -7\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\-2\\1\\1\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-3 & -1 & 0 & -2 & -4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{2} - 1 & - \frac{1}{2} + 3 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\-3 & -1 & 0 & -2 & -4\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & 0 & 1 & 3\\-6 & -1 & 0 & 4 & -7\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{2} + 1 & - \frac{1}{2} + 2 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\-3 & -1 & 0 & -2 & -4\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\- \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1\\-6 & -1 & 0 & 4 & -7\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-12 & -3 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-12 & -3 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1 & 0 & 4\\-3 & -1 & 0 & -2 & -4\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\- \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1\\-12 & -3 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-3\\- \frac{5}{2}\\- \frac{1}{2}\\-12\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 1 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 5 & 1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 1 & 0 & 4\\-3 & -1 & 0 & -2 & -4\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\- \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1\\-12 & -3 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & 0 & -2 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & 0 & -2 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 1 & 0 & 4\\0 & -4 & 0 & -2 & -4\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\- \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1\\-12 & -3 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{2} - - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 1 & 0 & 4\\0 & -4 & 0 & -2 & -4\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\\-12 & -3 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -15 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 1 & 0 & 4\\0 & -4 & 0 & -2 & -4\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & -15 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-4\\\frac{5}{2}\\1\\-15\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1\\0 & -4 & 0 & -2 & -4\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & -15 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -2 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -2 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & -2 & 0\\- \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & -15 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} & 0 & 0 & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & -2 & 0\\- \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{5}{2}\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & -15 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & -2 & 0\\- \frac{5}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{5}{2}\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{3} + 1 = 0$$
$$- 2 x_{4} = 0$$
$$- \frac{5 x_{1}}{2} + \frac{5}{2} = 0$$
$$x_{2} - 1 = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

[LaTeX]

k1 = 1.00000000000000
x1 = 1.00000000000000
y1 = -1.00000000000000
z1 = -2.524354896707238e-29

k2 = 1.00000000000000
x2 = 1.00000000000000
y2 = -1.00000000000000
z2 = 2.524354896707238e-29

k3 = 1.00000000000000
x3 = 1.00000000000000
y3 = -1.00000000000000
z3 = -2.01948391736579e-28

k4 = 1.00000000000000
x4 = 1.00000000000000
y4 = -1.00000000000000
z4 = 6.058451752097371e-28

k5 = 1.00000000000000
x5 = 1.00000000000000
y5 = -1.00000000000000
z5 = -5.048709793414476e-29

k6 = 1.00000000000000
x6 = 1.00000000000000
y6 = -1.00000000000000
z6 = -1.009741958682895e-28

k7 = 1.00000000000000
x7 = 1.00000000000000
y7 = -1.00000000000000
z7 = -1.262177448353619e-28

k8 = 1.00000000000000
x8 = 1.00000000000000
y8 = -1.00000000000000
z8 = -1.767048427695066e-28

k9 = 1.00000000000000
x9 = 1.00000000000000
y9 = -1.00000000000000
z9 = 0.0

k10 = 1.00000000000000
x10 = 1.00000000000000
y10 = -1.00000000000000
z10 = 5.048709793414476e-29

k11 = 1.00000000000000
x11 = 1.00000000000000
y11 = -1.00000000000000
z11 = 4.03896783473158e-28

k12 = 1.00000000000000
x12 = 1.00000000000000
y12 = -1.00000000000000
z12 = 1.767048427695066e-28

k13 = 1.00000000000000
x13 = 1.00000000000000
y13 = -1.00000000000000
z13 = 1.009741958682895e-28

k14 = 1.00000000000000
x14 = 1.00000000000000
y14 = -1.00000000000000
z14 = 2.01948391736579e-28

k15 = 1.00000000000000
x15 = 1.00000000000000
y15 = -1.00000000000000
z15 = -4.03896783473158e-28

k16 = 1.00000000000000
x16 = 1.00000000000000
y16 = -1.00000000000000
z16 = 3.281661365719409e-28