-25*x+15*x-15*y=-45/2 -81*y/2-15*x=0 -21*z+12*z+24=69
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
-25*x + 15*x - 15*y = -45/2
$$- 15 y + - 25 x + 15 x = - \frac{45}{2}$$
-81*y ----- - 15*x = 0 2
$$- 15 x + \frac{1}{2} \left(-1 \cdot 81 y\right) = 0$$
-21*z + 12*z + 24 = 69
$$- 21 z + 12 z + 24 = 69$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{81}{16}$$
=
$$\frac{81}{16}$$
=
$$z_{1} = -5$$
=
$$-5$$
=
$$y_{1} = - \frac{15}{8}$$
=
$$- \frac{15}{8}$$
=
=
$$\frac{81}{16}$$
=
5.06250000000000
$$z_{1} = -5$$
=
$$-5$$
=
-5
$$y_{1} = - \frac{15}{8}$$
=
$$- \frac{15}{8}$$
=
-1.875
Метод Крамера
[TeX]
$$- 15 y + - 25 x + 15 x = - \frac{45}{2}$$
$$- 15 x + \frac{1}{2} \left(-1 \cdot 81 y\right) = 0$$
$$- 21 z + 12 z + 24 = 69$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 10 x - 15 y = - \frac{45}{2}$$
$$- 15 x - \frac{81 y}{2} = 0$$
$$- 9 z = 45$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + - 10 x_{1} - 15 x_{2}\\0 x_{3} + - 15 x_{1} - \frac{81 x_{2}}{2}\\- 9 x_{3} + 0 x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{45}{2}\\0\\45\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & -15 & 0\\-15 & - \frac{81}{2} & 0\\0 & 0 & -9\end{matrix}\right] \right )} = -1620$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{1620} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{45}{2} & -15 & 0\\0 & - \frac{81}{2} & 0\\45 & 0 & -9\end{matrix}\right] \right )} = \frac{81}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{1620} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & - \frac{45}{2} & 0\\-15 & 0 & 0\\0 & 45 & -9\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{15}{8}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{1620} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & -15 & - \frac{45}{2}\\-15 & - \frac{81}{2} & 0\\0 & 0 & 45\end{matrix}\right] \right )} = -5$$
$$- 15 x + \frac{1}{2} \left(-1 \cdot 81 y\right) = 0$$
$$- 21 z + 12 z + 24 = 69$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 10 x - 15 y = - \frac{45}{2}$$
$$- 15 x - \frac{81 y}{2} = 0$$
$$- 9 z = 45$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + - 10 x_{1} - 15 x_{2}\\0 x_{3} + - 15 x_{1} - \frac{81 x_{2}}{2}\\- 9 x_{3} + 0 x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{45}{2}\\0\\45\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & -15 & 0\\-15 & - \frac{81}{2} & 0\\0 & 0 & -9\end{matrix}\right] \right )} = -1620$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{1620} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{45}{2} & -15 & 0\\0 & - \frac{81}{2} & 0\\45 & 0 & -9\end{matrix}\right] \right )} = \frac{81}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{1620} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & - \frac{45}{2} & 0\\-15 & 0 & 0\\0 & 45 & -9\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{15}{8}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{1620} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & -15 & - \frac{45}{2}\\-15 & - \frac{81}{2} & 0\\0 & 0 & 45\end{matrix}\right] \right )} = -5$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 15 y + - 25 x + 15 x = - \frac{45}{2}$$
$$- 15 x + \frac{1}{2} \left(-1 \cdot 81 y\right) = 0$$
$$- 21 z + 12 z + 24 = 69$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 10 x - 15 y = - \frac{45}{2}$$
$$- 15 x - \frac{81 y}{2} = 0$$
$$- 9 z = 45$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-10 & -15 & 0 & - \frac{45}{2}\\-15 & - \frac{81}{2} & 0 & 0\\0 & 0 & -9 & 45\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-10\\-15\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-10 & -15 & 0 & - \frac{45}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{81}{2} - - \frac{45}{2} & 0 & - \frac{-135}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -18 & 0 & \frac{135}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-10 & -15 & 0 & - \frac{45}{2}\\0 & -18 & 0 & \frac{135}{4}\\0 & 0 & -9 & 45\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-15\\-18\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -18 & 0 & \frac{135}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-10 & 0 & 0 & - \frac{225}{8} - \frac{45}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-10 & 0 & 0 & - \frac{405}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-10 & 0 & 0 & - \frac{405}{8}\\0 & -18 & 0 & \frac{135}{4}\\0 & 0 & -9 & 45\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 10 x_{1} + \frac{405}{8} = 0$$
$$- 18 x_{2} - \frac{135}{4} = 0$$
$$- 9 x_{3} - 45 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{81}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{15}{8}$$
$$x_{3} = -5$$
$$- 15 y + - 25 x + 15 x = - \frac{45}{2}$$
$$- 15 x + \frac{1}{2} \left(-1 \cdot 81 y\right) = 0$$
$$- 21 z + 12 z + 24 = 69$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 10 x - 15 y = - \frac{45}{2}$$
$$- 15 x - \frac{81 y}{2} = 0$$
$$- 9 z = 45$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-10 & -15 & 0 & - \frac{45}{2}\\-15 & - \frac{81}{2} & 0 & 0\\0 & 0 & -9 & 45\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-10\\-15\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-10 & -15 & 0 & - \frac{45}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{81}{2} - - \frac{45}{2} & 0 & - \frac{-135}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -18 & 0 & \frac{135}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-10 & -15 & 0 & - \frac{45}{2}\\0 & -18 & 0 & \frac{135}{4}\\0 & 0 & -9 & 45\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-15\\-18\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -18 & 0 & \frac{135}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-10 & 0 & 0 & - \frac{225}{8} - \frac{45}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-10 & 0 & 0 & - \frac{405}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-10 & 0 & 0 & - \frac{405}{8}\\0 & -18 & 0 & \frac{135}{4}\\0 & 0 & -9 & 45\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 10 x_{1} + \frac{405}{8} = 0$$
$$- 18 x_{2} - \frac{135}{4} = 0$$
$$- 9 x_{3} - 45 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{81}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{15}{8}$$
$$x_{3} = -5$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 5.06250000000000 y1 = -1.87500000000000 z1 = -5.00000000000000