5*x+y=9 7*x-6*y=57
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
5*x + y = 9
$$5 x + y = 9$$
7*x - 6*y = 57
$$7 x - 6 y = 57$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x + y = 9$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = - y + 9$$
$$5 x = - y + 9$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- y + 9\right)$$
$$x = - \frac{y}{5} + \frac{9}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$7 x - 6 y = 57$$
Получим:
$$- 6 y + 7 \left(- \frac{y}{5} + \frac{9}{5}\right) = 57$$
$$- \frac{37 y}{5} + \frac{63}{5} = 57$$
Перенесем свободное слагаемое 63/5 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{37 y}{5} = \frac{222}{5}$$
$$- \frac{37 y}{5} = \frac{222}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{37}{5} y}{- \frac{37}{5}} = -6$$
$$y = -6$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{5} + \frac{9}{5}$$
то
$$x = - \frac{-6}{5} + \frac{9}{5}$$
$$x = 3$$
Ответ:
$$x = 3$$
$$y = -6$$
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x + y = 9$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = - y + 9$$
$$5 x = - y + 9$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- y + 9\right)$$
$$x = - \frac{y}{5} + \frac{9}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$7 x - 6 y = 57$$
Получим:
$$- 6 y + 7 \left(- \frac{y}{5} + \frac{9}{5}\right) = 57$$
$$- \frac{37 y}{5} + \frac{63}{5} = 57$$
Перенесем свободное слагаемое 63/5 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{37 y}{5} = \frac{222}{5}$$
$$- \frac{37 y}{5} = \frac{222}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{37}{5} y}{- \frac{37}{5}} = -6$$
$$y = -6$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{5} + \frac{9}{5}$$
то
$$x = - \frac{-6}{5} + \frac{9}{5}$$
$$x = 3$$
Ответ:
$$x = 3$$
$$y = -6$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
$$y_{1} = -6$$
=
$$-6$$
=
=
$$3$$
=
3
$$y_{1} = -6$$
=
$$-6$$
=
-6
Метод Крамера
[TeX]
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + x_{2}\\7 x_{1} - 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 1\\7 & -6\end{matrix}\right] \right )} = -37$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{37} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & 1\\57 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{37} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 9\\7 & 57\end{matrix}\right] \right )} = -6$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + x_{2}\\7 x_{1} - 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 1\\7 & -6\end{matrix}\right] \right )} = -37$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{37} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & 1\\57 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{37} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 9\\7 & 57\end{matrix}\right] \right )} = -6$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 1 & 9\\7 & -6 & 57\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 1 & 9\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -6 - \frac{7}{5} & - \frac{63}{5} + 57\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{37}{5} & \frac{222}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 1 & 9\\0 & - \frac{37}{5} & \frac{222}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{37}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{37}{5} & \frac{222}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\\0 & - \frac{37}{5} & \frac{222}{5}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 15 = 0$$
$$- \frac{37 x_{2}}{5} - \frac{222}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -6$$
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + y = 9$$
$$7 x - 6 y = 57$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 1 & 9\\7 & -6 & 57\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 1 & 9\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -6 - \frac{7}{5} & - \frac{63}{5} + 57\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{37}{5} & \frac{222}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 1 & 9\\0 & - \frac{37}{5} & \frac{222}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{37}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{37}{5} & \frac{222}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 15\\0 & - \frac{37}{5} & \frac{222}{5}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 15 = 0$$
$$- \frac{37 x_{2}}{5} - \frac{222}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -6$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 3.00000000000000 y1 = -6.00000000000000