14*x-y=138 y+5*x=52

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

14*x - y = 138

$$14 x - y = 138$$

y + 5*x = 52

$$5 x + y = 52$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$14 x - y = 138$$
$$5 x + y = 52$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$14 x - y = 138$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$14 x = - -1 y + 138$$
$$14 x = y + 138$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{14 x}{14} = \frac{1}{14} \left(y + 138\right)$$
$$x = \frac{y}{14} + \frac{69}{7}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x + y = 52$$
Получим:
$$y + 5 \left(\frac{y}{14} + \frac{69}{7}\right) = 52$$
$$\frac{19 y}{14} + \frac{345}{7} = 52$$
Перенесем свободное слагаемое 345/7 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{19 y}{14} = \frac{19}{7}$$
$$\frac{19 y}{14} = \frac{19}{7}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{19}{14} y}{\frac{19}{14}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{14} + \frac{69}{7}$$
то
$$x = \frac{2}{14} + \frac{69}{7}$$
$$x = 10$$

Ответ:
$$x = 10$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 10$$
=
$$10$$
=

10

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

[TeX]

$$14 x - y = 138$$
$$5 x + y = 52$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$14 x - y = 138$$
$$5 x + y = 52$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}14 x_{1} - x_{2}\\5 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}138\\52\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}14 & -1\\5 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 19$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{19} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}138 & -1\\52 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 10$$
$$x_{2} = \frac{1}{19} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}14 & 138\\5 & 52\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$14 x - y = 138$$
$$5 x + y = 52$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$14 x - y = 138$$
$$5 x + y = 52$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}14 & -1 & 138\\5 & 1 & 52\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}14 & -1 & 138\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-5}{14} + 1 & - \frac{345}{7} + 52\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{14} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}14 & -1 & 138\\0 & \frac{19}{14} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{19}{14}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{14} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}14 & 0 & 140\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}14 & 0 & 140\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}14 & 0 & 140\\0 & \frac{19}{14} & \frac{19}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$14 x_{1} - 140 = 0$$
$$\frac{19 x_{2}}{14} - \frac{19}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 10.0000000000000
y1 = 2.00000000000000