Дана система ур-ний $$- 2 v - z + 2 = 4$$ $$z = - v - 9$$
Из 1-го ур-ния выразим v $$- 2 v - z + 2 = 4$$ Перенесем слагаемое с переменной z из левой части в правую со сменой знака $$- 2 v + 2 = - 2 v - - 2 v - - z + 4$$ $$- 2 v + 2 = z + 4$$ Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака $$- 2 v = z + 4 - 2$$ $$- 2 v = z + 2$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при v $$\frac{1}{-2} \left(-1 \cdot 2 v\right) = \frac{1}{-2} \left(z + 2\right)$$ $$v = - \frac{z}{2} - 1$$ Подставим найденное v в 2-е ур-ние $$z = - v - 9$$ Получим: $$z = - - \frac{z}{2} - 1 - 9$$ $$z = \frac{z}{2} - 8$$ Перенесем слагаемое с переменной z из правой части в левую со сменой знака $$- \frac{z}{2} + z = -8$$ $$\frac{z}{2} = -8$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при z $$\frac{\frac{1}{2} z}{\frac{1}{2} z} = - 8 \frac{2}{z}$$ $$\frac{16}{z} = -1$$ Т.к. $$v = - \frac{z}{2} - 1$$ то $$v = -1 - - \frac{1}{2}$$ $$v = - \frac{1}{2}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$- 2 v - z = 2$$ $$v + z = -9$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}- 2 x_{1} - x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -1$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\-9 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 7$$ $$x_{2} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & 2\\1 & -9\end{matrix}\right] \right )} = -16$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$- 2 v - z + 2 = 4$$ $$z = - v - 9$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$- 2 v - z = 2$$ $$v + z = -9$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}-2 & -1 & 2\\1 & 1 & -9\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}-2 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} + 1 & -8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & -8\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}-2 & -1 & 2\\0 & \frac{1}{2} & -8\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & -8\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & -14\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & -14\\0 & \frac{1}{2} & -8\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$- 2 x_{1} + 14 = 0$$ $$\frac{x_{2}}{2} + 8 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 7$$ $$x_{2} = -16$$