8*f1-2*f2-3*f3=-60-2*e1 -5*f1+13*f3-4*f2=-300 -20*f1+59*f2-24*f3=20*e1+900
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
8*f1 - 2*f2 - 3*f3 = -60 - 2*e1
$$- 3 f_{3} + 8 f_{1} - 2 f_{2} = - 2 e_{1} - 60$$
-5*f1 + 13*f3 - 4*f2 = -300
$$- 4 f_{2} + - 5 f_{1} + 13 f_{3} = -300$$
-20*f1 + 59*f2 - 24*f3 = 20*e1 + 900
$$- 24 f_{3} + - 20 f_{1} + 59 f_{2} = 20 e_{1} + 900$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$f_{21} = \frac{34 f_{3}}{3} + \frac{1100}{3}$$
=
$$\frac{34 f_{3}}{3} + \frac{1100}{3}$$
=
$$e_{11} = \frac{387 f_{3}}{10} + 1270$$
=
$$\frac{387 f_{3}}{10} + 1270$$
=
$$f_{11} = - \frac{97 f_{3}}{15} - \frac{700}{3}$$
=
$$- \frac{97 f_{3}}{15} - \frac{700}{3}$$
=
=
$$\frac{34 f_{3}}{3} + \frac{1100}{3}$$
=
366.666666666667 + 11.3333333333333*f3
$$e_{11} = \frac{387 f_{3}}{10} + 1270$$
=
$$\frac{387 f_{3}}{10} + 1270$$
=
1270 + 38.7*f3
$$f_{11} = - \frac{97 f_{3}}{15} - \frac{700}{3}$$
=
$$- \frac{97 f_{3}}{15} - \frac{700}{3}$$
=
-233.333333333333 - 6.46666666666667*f3
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 3 f_{3} + 8 f_{1} - 2 f_{2} = - 2 e_{1} - 60$$
$$- 4 f_{2} + - 5 f_{1} + 13 f_{3} = -300$$
$$- 24 f_{3} + - 20 f_{1} + 59 f_{2} = 20 e_{1} + 900$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 e_{1} + 8 f_{1} - 2 f_{2} - 3 f_{3} = -60$$
$$- 5 f_{1} - 4 f_{2} + 13 f_{3} = -300$$
$$- 20 e_{1} - 20 f_{1} + 59 f_{2} - 24 f_{3} = 900$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 8 & -2 & -3 & -60\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\-20 & -20 & 59 & -24 & 900\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\0\\-20\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 8 & -2 & -3 & -60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 60 & 39 & -54 & 300\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 60 & 39 & -54 & 300\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 8 & -2 & -3 & -60\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\0 & 60 & 39 & -54 & 300\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\-5\\60\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -4 & 13 & -300\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{32}{5} - 2 & -3 - - \frac{104}{5} & -540\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{42}{5} & \frac{89}{5} & -540\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{42}{5} & \frac{89}{5} & -540\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\0 & 60 & 39 & -54 & 300\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{42}{5} & \frac{89}{5} & -540\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{42}{5}\\-4\\-9\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{42}{5} - - \frac{42}{5} & - \frac{476}{5} + \frac{89}{5} & 2540\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & - \frac{387}{5} & 2540\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & - \frac{387}{5} & 2540\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & 0 & - \frac{136}{3} + 13 & -300 - - \frac{4400}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 0 & - \frac{97}{3} & \frac{3500}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & - \frac{387}{5} & 2540\\0 & -5 & 0 & - \frac{97}{3} & \frac{3500}{3}\\0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - \frac{387 x_{4}}{5} - 2540 = 0$$
$$- 5 x_{2} - \frac{97 x_{4}}{3} - \frac{3500}{3} = 0$$
$$- 9 x_{3} + 102 x_{4} + 3300 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{387 x_{4}}{10} + 1270$$
$$x_{2} = - \frac{97 x_{4}}{15} - \frac{700}{3}$$
$$x_{3} = \frac{34 x_{4}}{3} + \frac{1100}{3}$$
где x4 - свободные переменные
$$- 3 f_{3} + 8 f_{1} - 2 f_{2} = - 2 e_{1} - 60$$
$$- 4 f_{2} + - 5 f_{1} + 13 f_{3} = -300$$
$$- 24 f_{3} + - 20 f_{1} + 59 f_{2} = 20 e_{1} + 900$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 e_{1} + 8 f_{1} - 2 f_{2} - 3 f_{3} = -60$$
$$- 5 f_{1} - 4 f_{2} + 13 f_{3} = -300$$
$$- 20 e_{1} - 20 f_{1} + 59 f_{2} - 24 f_{3} = 900$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 8 & -2 & -3 & -60\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\-20 & -20 & 59 & -24 & 900\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\0\\-20\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 8 & -2 & -3 & -60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 60 & 39 & -54 & 300\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 60 & 39 & -54 & 300\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 8 & -2 & -3 & -60\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\0 & 60 & 39 & -54 & 300\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\-5\\60\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -4 & 13 & -300\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{32}{5} - 2 & -3 - - \frac{104}{5} & -540\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{42}{5} & \frac{89}{5} & -540\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{42}{5} & \frac{89}{5} & -540\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\0 & 60 & 39 & -54 & 300\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{42}{5} & \frac{89}{5} & -540\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{42}{5}\\-4\\-9\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{42}{5} - - \frac{42}{5} & - \frac{476}{5} + \frac{89}{5} & 2540\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & - \frac{387}{5} & 2540\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & - \frac{387}{5} & 2540\\0 & -5 & -4 & 13 & -300\\0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & 0 & - \frac{136}{3} + 13 & -300 - - \frac{4400}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 0 & - \frac{97}{3} & \frac{3500}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & - \frac{387}{5} & 2540\\0 & -5 & 0 & - \frac{97}{3} & \frac{3500}{3}\\0 & 0 & -9 & 102 & -3300\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - \frac{387 x_{4}}{5} - 2540 = 0$$
$$- 5 x_{2} - \frac{97 x_{4}}{3} - \frac{3500}{3} = 0$$
$$- 9 x_{3} + 102 x_{4} + 3300 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{387 x_{4}}{10} + 1270$$
$$x_{2} = - \frac{97 x_{4}}{15} - \frac{700}{3}$$
$$x_{3} = \frac{34 x_{4}}{3} + \frac{1100}{3}$$
где x4 - свободные переменные