1867*x/100+16*y+24*z=57333/100 16*x+1867*y/100+26*z=61333/100 24*x+26*y+4367*z/100=80667/100
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
1867*x 57333 ------ + 16*y + 24*z = ----- 100 100
$$24 z + \frac{1867 x}{100} + 16 y = \frac{57333}{100}$$
1867*y 61333
16*x + ------ + 26*z = -----
100 100
$$26 z + 16 x + \frac{1867 y}{100} = \frac{61333}{100}$$
4367*z 80667
24*x + 26*y + ------ = -----
100 100
$$\frac{4367 z}{100} + 24 x + 26 y = \frac{80667}{100}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{8169713737}{635643863}$$
=
$$\frac{8169713737}{635643863}$$
=
$$z_{1} = - \frac{5923800437}{635643863}$$
=
$$- \frac{5923800437}{635643863}$$
=
$$y_{1} = \frac{22129771937}{635643863}$$
=
$$\frac{22129771937}{635643863}$$
=
=
$$\frac{8169713737}{635643863}$$
=
12.8526588748014
$$z_{1} = - \frac{5923800437}{635643863}$$
=
$$- \frac{5923800437}{635643863}$$
=
-9.31937014076072
$$y_{1} = \frac{22129771937}{635643863}$$
=
$$\frac{22129771937}{635643863}$$
=
34.8147338866072
Метод Крамера
[TeX]
$$24 z + \frac{1867 x}{100} + 16 y = \frac{57333}{100}$$
$$26 z + 16 x + \frac{1867 y}{100} = \frac{61333}{100}$$
$$\frac{4367 z}{100} + 24 x + 26 y = \frac{80667}{100}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{1867 x}{100} + 16 y + 24 z = \frac{57333}{100}$$
$$16 x + \frac{1867 y}{100} + 26 z = \frac{61333}{100}$$
$$24 x + 26 y + \frac{4367 z}{100} = \frac{80667}{100}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}24 x_{3} + \frac{1867 x_{1}}{100} + 16 x_{2}\\26 x_{3} + 16 x_{1} + \frac{1867 x_{2}}{100}\\\frac{4367 x_{3}}{100} + 24 x_{1} + 26 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{57333}{100}\\\frac{61333}{100}\\\frac{80667}{100}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24\\16 & \frac{1867}{100} & 26\\24 & 26 & \frac{4367}{100}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{635643863}{1000000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1000000}{635643863} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{57333}{100} & 16 & 24\\\frac{61333}{100} & \frac{1867}{100} & 26\\\frac{80667}{100} & 26 & \frac{4367}{100}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{8169713737}{635643863}$$
$$x_{2} = \frac{1000000}{635643863} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & \frac{57333}{100} & 24\\16 & \frac{61333}{100} & 26\\24 & \frac{80667}{100} & \frac{4367}{100}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{22129771937}{635643863}$$
$$x_{3} = \frac{1000000}{635643863} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & \frac{57333}{100}\\16 & \frac{1867}{100} & \frac{61333}{100}\\24 & 26 & \frac{80667}{100}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{5923800437}{635643863}$$
$$26 z + 16 x + \frac{1867 y}{100} = \frac{61333}{100}$$
$$\frac{4367 z}{100} + 24 x + 26 y = \frac{80667}{100}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{1867 x}{100} + 16 y + 24 z = \frac{57333}{100}$$
$$16 x + \frac{1867 y}{100} + 26 z = \frac{61333}{100}$$
$$24 x + 26 y + \frac{4367 z}{100} = \frac{80667}{100}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}24 x_{3} + \frac{1867 x_{1}}{100} + 16 x_{2}\\26 x_{3} + 16 x_{1} + \frac{1867 x_{2}}{100}\\\frac{4367 x_{3}}{100} + 24 x_{1} + 26 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{57333}{100}\\\frac{61333}{100}\\\frac{80667}{100}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24\\16 & \frac{1867}{100} & 26\\24 & 26 & \frac{4367}{100}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{635643863}{1000000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1000000}{635643863} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{57333}{100} & 16 & 24\\\frac{61333}{100} & \frac{1867}{100} & 26\\\frac{80667}{100} & 26 & \frac{4367}{100}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{8169713737}{635643863}$$
$$x_{2} = \frac{1000000}{635643863} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & \frac{57333}{100} & 24\\16 & \frac{61333}{100} & 26\\24 & \frac{80667}{100} & \frac{4367}{100}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{22129771937}{635643863}$$
$$x_{3} = \frac{1000000}{635643863} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & \frac{57333}{100}\\16 & \frac{1867}{100} & \frac{61333}{100}\\24 & 26 & \frac{80667}{100}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{5923800437}{635643863}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$24 z + \frac{1867 x}{100} + 16 y = \frac{57333}{100}$$
$$26 z + 16 x + \frac{1867 y}{100} = \frac{61333}{100}$$
$$\frac{4367 z}{100} + 24 x + 26 y = \frac{80667}{100}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{1867 x}{100} + 16 y + 24 z = \frac{57333}{100}$$
$$16 x + \frac{1867 y}{100} + 26 z = \frac{61333}{100}$$
$$24 x + 26 y + \frac{4367 z}{100} = \frac{80667}{100}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24 & \frac{57333}{100}\\16 & \frac{1867}{100} & 26 & \frac{61333}{100}\\24 & 26 & \frac{4367}{100} & \frac{80667}{100}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100}\\16\\24\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24 & \frac{57333}{100}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{25600}{1867} + \frac{1867}{100} & - \frac{38400}{1867} + 26 & - \frac{917328}{1867} + \frac{61333}{100}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24 & \frac{57333}{100}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\24 & 26 & \frac{4367}{100} & \frac{80667}{100}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{38400}{1867} + 26 & - \frac{57600}{1867} + \frac{4367}{100} & - \frac{1375992}{1867} + \frac{80667}{100}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{10142}{1867} & \frac{2393189}{186700} & \frac{13006089}{186700}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24 & \frac{57333}{100}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\0 & \frac{10142}{1867} & \frac{2393189}{186700} & \frac{13006089}{186700}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}16\\\frac{925689}{186700}\\\frac{10142}{1867}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & - \frac{16227200}{925689} + 24 & - \frac{364414576}{925689} + \frac{57333}{100}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & \frac{5989336}{925689} & \frac{16631069837}{92568900}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & \frac{5989336}{925689} & \frac{16631069837}{92568900}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\0 & \frac{10142}{1867} & \frac{2393189}{186700} & \frac{13006089}{186700}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{10142}{1867} + \frac{10142}{1867} & - \frac{10286016400}{1728261363} + \frac{2393189}{186700} & - \frac{230993289362}{1728261363} + \frac{13006089}{186700}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & \frac{5989336}{925689} & \frac{16631069837}{92568900}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{5989336}{925689}\\\frac{10142}{1867}\\\frac{635643863}{92568900}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & - \frac{5989336}{925689} + \frac{5989336}{925689} & - \frac{-35479631214139832}{588408531896607} + \frac{16631069837}{92568900}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & 0 & \frac{15252855546979}{63564386300}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & 0 & \frac{15252855546979}{63564386300}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{925689}{186700} & - \frac{10142}{1867} + \frac{10142}{1867} & - \frac{-60079184032054}{1186747092221} + \frac{22775911}{186700}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{925689}{186700} & 0 & \frac{20485286454589593}{118674709222100}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & 0 & \frac{15252855546979}{63564386300}\\0 & \frac{925689}{186700} & 0 & \frac{20485286454589593}{118674709222100}\\0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{1867 x_{1}}{100} - \frac{15252855546979}{63564386300} = 0$$
$$\frac{925689 x_{2}}{186700} - \frac{20485286454589593}{118674709222100} = 0$$
$$\frac{635643863 x_{3}}{92568900} + \frac{5923800437}{92568900} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{8169713737}{635643863}$$
$$x_{2} = \frac{22129771937}{635643863}$$
$$x_{3} = - \frac{5923800437}{635643863}$$
$$24 z + \frac{1867 x}{100} + 16 y = \frac{57333}{100}$$
$$26 z + 16 x + \frac{1867 y}{100} = \frac{61333}{100}$$
$$\frac{4367 z}{100} + 24 x + 26 y = \frac{80667}{100}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{1867 x}{100} + 16 y + 24 z = \frac{57333}{100}$$
$$16 x + \frac{1867 y}{100} + 26 z = \frac{61333}{100}$$
$$24 x + 26 y + \frac{4367 z}{100} = \frac{80667}{100}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24 & \frac{57333}{100}\\16 & \frac{1867}{100} & 26 & \frac{61333}{100}\\24 & 26 & \frac{4367}{100} & \frac{80667}{100}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100}\\16\\24\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24 & \frac{57333}{100}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{25600}{1867} + \frac{1867}{100} & - \frac{38400}{1867} + 26 & - \frac{917328}{1867} + \frac{61333}{100}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24 & \frac{57333}{100}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\24 & 26 & \frac{4367}{100} & \frac{80667}{100}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{38400}{1867} + 26 & - \frac{57600}{1867} + \frac{4367}{100} & - \frac{1375992}{1867} + \frac{80667}{100}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{10142}{1867} & \frac{2393189}{186700} & \frac{13006089}{186700}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 16 & 24 & \frac{57333}{100}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\0 & \frac{10142}{1867} & \frac{2393189}{186700} & \frac{13006089}{186700}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}16\\\frac{925689}{186700}\\\frac{10142}{1867}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & - \frac{16227200}{925689} + 24 & - \frac{364414576}{925689} + \frac{57333}{100}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & \frac{5989336}{925689} & \frac{16631069837}{92568900}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & \frac{5989336}{925689} & \frac{16631069837}{92568900}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\0 & \frac{10142}{1867} & \frac{2393189}{186700} & \frac{13006089}{186700}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{10142}{1867} + \frac{10142}{1867} & - \frac{10286016400}{1728261363} + \frac{2393189}{186700} & - \frac{230993289362}{1728261363} + \frac{13006089}{186700}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & \frac{5989336}{925689} & \frac{16631069837}{92568900}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{5989336}{925689}\\\frac{10142}{1867}\\\frac{635643863}{92568900}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & - \frac{5989336}{925689} + \frac{5989336}{925689} & - \frac{-35479631214139832}{588408531896607} + \frac{16631069837}{92568900}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & 0 & \frac{15252855546979}{63564386300}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & 0 & \frac{15252855546979}{63564386300}\\0 & \frac{925689}{186700} & \frac{10142}{1867} & \frac{22775911}{186700}\\0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{925689}{186700} & - \frac{10142}{1867} + \frac{10142}{1867} & - \frac{-60079184032054}{1186747092221} + \frac{22775911}{186700}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{925689}{186700} & 0 & \frac{20485286454589593}{118674709222100}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{1867}{100} & 0 & 0 & \frac{15252855546979}{63564386300}\\0 & \frac{925689}{186700} & 0 & \frac{20485286454589593}{118674709222100}\\0 & 0 & \frac{635643863}{92568900} & - \frac{5923800437}{92568900}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{1867 x_{1}}{100} - \frac{15252855546979}{63564386300} = 0$$
$$\frac{925689 x_{2}}{186700} - \frac{20485286454589593}{118674709222100} = 0$$
$$\frac{635643863 x_{3}}{92568900} + \frac{5923800437}{92568900} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{8169713737}{635643863}$$
$$x_{2} = \frac{22129771937}{635643863}$$
$$x_{3} = - \frac{5923800437}{635643863}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 12.85265887480141 y1 = 34.81473388660721 z1 = -9.319370140760738