Дана система ур-ний $$x - 4 y = 9$$ $$2 x + 7 y = 3$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$x - 4 y = 9$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$x - 4 y + 4 y = - -1 \cdot 4 y + 9$$ $$x = 4 y + 9$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$2 x + 7 y = 3$$ Получим: $$7 y + 2 \left(4 y + 9\right) = 3$$ $$15 y + 18 = 3$$ Перенесем свободное слагаемое 18 из левой части в правую со сменой знака $$15 y = -15$$ $$15 y = -15$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{15 y}{15} = -1$$ $$y = -1$$ Т.к. $$x = 4 y + 9$$ то $$x = -1 \cdot 4 + 9$$ $$x = 5$$
Ответ: $$x = 5$$ $$y = -1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 5$$ = $$5$$ =
5
$$y_{1} = -1$$ = $$-1$$ =
-1
Метод Крамера
$$x - 4 y = 9$$ $$2 x + 7 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - 4 y = 9$$ $$2 x + 7 y = 3$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} - 4 x_{2}\\2 x_{1} + 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -4\\2 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 15$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{15} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & -4\\3 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 5$$ $$x_{2} = \frac{1}{15} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 9\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x - 4 y = 9$$ $$2 x + 7 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - 4 y = 9$$ $$2 x + 7 y = 3$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & -4 & 9\\2 & 7 & 3\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & -4 & 9\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 15 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 15 & -15\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & -4 & 9\\0 & 15 & -15\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-4\\15\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 15 & -15\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 5\\0 & 15 & -15\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - 5 = 0$$ $$15 x_{2} + 15 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 5$$ $$x_{2} = -1$$