Дана система ур-ний $$4 x - 3 y = -1$$ $$x - 5 y = 4$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$4 x - 3 y = -1$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$4 x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y - 1$$ $$4 x = 3 y - 1$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(3 y - 1\right)$$ $$x = \frac{3 y}{4} - \frac{1}{4}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$x - 5 y = 4$$ Получим: $$- 5 y + \frac{3 y}{4} - \frac{1}{4} = 4$$ $$- \frac{17 y}{4} - \frac{1}{4} = 4$$ Перенесем свободное слагаемое -1/4 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{17 y}{4} = \frac{17}{4}$$ $$- \frac{17 y}{4} = \frac{17}{4}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{17}{4} y}{- \frac{17}{4}} = -1$$ $$y = -1$$ Т.к. $$x = \frac{3 y}{4} - \frac{1}{4}$$ то $$x = \frac{-3}{4} - \frac{1}{4}$$ $$x = -1$$
Ответ: $$x = -1$$ $$y = -1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -1$$ = $$-1$$ =
-1
$$y_{1} = -1$$ = $$-1$$ =
-1
Метод Крамера
$$4 x - 3 y = -1$$ $$x - 5 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$4 x - 3 y = -1$$ $$x - 5 y = 4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 3 x_{2}\\x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3\\1 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -17$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -3\\4 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -1$$ $$x_{2} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1\\1 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$4 x - 3 y = -1$$ $$x - 5 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$4 x - 3 y = -1$$ $$x - 5 y = 4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\\1 & -5 & 4\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -5 - - \frac{3}{4} & - \frac{-1}{4} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{4} & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-3\\- \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{4} & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -4\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$4 x_{1} + 4 = 0$$ $$- \frac{17 x_{2}}{4} - \frac{17}{4} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = -1$$ $$x_{2} = -1$$