4*x-3*y=-1 x-5*y=4

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

4*x - 3*y = -1

$$4 x - 3 y = -1$$

x - 5*y = 4

$$x - 5 y = 4$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$4 x - 3 y = -1$$
$$x - 5 y = 4$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - 3 y = -1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y - 1$$
$$4 x = 3 y - 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(3 y - 1\right)$$
$$x = \frac{3 y}{4} - \frac{1}{4}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - 5 y = 4$$
Получим:
$$- 5 y + \frac{3 y}{4} - \frac{1}{4} = 4$$
$$- \frac{17 y}{4} - \frac{1}{4} = 4$$
Перенесем свободное слагаемое -1/4 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{17 y}{4} = \frac{17}{4}$$
$$- \frac{17 y}{4} = \frac{17}{4}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{17}{4} y}{- \frac{17}{4}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = \frac{3 y}{4} - \frac{1}{4}$$
то
$$x = \frac{-3}{4} - \frac{1}{4}$$
$$x = -1$$

Ответ:
$$x = -1$$
$$y = -1$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

[TeX]

$$4 x - 3 y = -1$$
$$x - 5 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 3 y = -1$$
$$x - 5 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 3 x_{2}\\x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3\\1 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -17$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -3\\4 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1\\1 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$4 x - 3 y = -1$$
$$x - 5 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 3 y = -1$$
$$x - 5 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\\1 & -5 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 - - \frac{3}{4} & - \frac{-1}{4} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{4} & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\- \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{4} & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -4\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} + 4 = 0$$
$$- \frac{17 x_{2}}{4} - \frac{17}{4} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = -1.00000000000000
y1 = -1.00000000000000